Le système de positionnement par satellites que l’on désigne par GNSS (Géolocalisation et Navigation par un Système de Satellites) nous permet de déterminer des positions géographiques précises n’importe où sur Terre 🌍.
On va aujourd’hui comprendre comment fonctionne tout ça, dans les grandes lignes parce que ça peut vite devenir compliqué :)

Introduction

Ce qu’on appelle GPS (Global Positioning System) n’est qu’un type de GNSS opéré par les États-Unis depuis les années 70. Mais il en existe d’autres, comme le Galileo en Europe, le GLONASS en Russie ou encore le BeiDou en Chine.
Donc, quand on parle de “GPS”, on entend par là le terme générique GNSS quel qu’il soit.
Pour former une constellation GNSS, il faut une vingtaine de satellites qui orbitent autour de la Terre à une altitude d’environ 20000km sur l’orbite terrestre moyenne.



Ces derniers émettent en permanence des ondes radios et comme on connaît leur position, on peut grâce à de la triangulation déterminer la distance entre le satellite et le récepteur sur Terre.
En principe, 3 satellites pourraient suffire pour récupérer une latitude et une longitude. En pratique, il en faut plutôt au minimum 4. Ce dernier permettant de corriger le décalage d’horloge. Mais on va voir tout ça après.

Référentiel géocentrique

Un référentiel, c’est simplement un point de vue. Le lieu d’où on observe les choses. Et quand il s’agit de faire des calculs liés au GNSS, on se base sur le référentiel géocentrique 🌐 (ou ECEF en anglais).
Ce référentiel utilise le centre de la Terre comme point de référence.

Ce dernier se base sur un système dit cartésien, ça veut dire qu’il utilise 3 axes perpendiculaires entre eux, nommés X, Y et Z pour définir la position des points.
Ces coordonnées (x,y,z) permettant ainsi de localiser précisément des points dans l’espace en fonction de leur distance par rapport au centre de la Terre.
Mais comme des positions x,y,z c’est pas trop parlant pour nous, on devra convertir ses données en latitude et longitude bien plus simple à lire.

Triangulation

Les horloges des satellites sont synchronisées sur la même source qu’on appelle le temps GPS. Quand notre récepteur GNSS, (un téléphone portable pour l’exemple) reçoit les signaux d’au moins 4 satellites, il peut calculer sa position. Pour cela, il doit mesurer 4 pseudo-distances.

Pseudo-distances

On parle de “pseudo”, car cette distance n’inclut pas uniquement la vraie distance mais aussi des erreurs dues à divers facteurs :

• Les décalages d’horloge car à l’inverse d’une horloge embarquée sur un satellite qui est très précise, celle d’un téléphone l’est beaucoup moins.
• Les effets atmosphériques, car le signal doit traverser différentes couches de l’atmosphère ce qui le ralentit.
• Les multipaths, car le signal peut rebondir sur différents obstacles comme des bâtiments avant d’atteindre le téléphone.

Bref, pour corriger tout ça, chaque satellite génère un code aléatoire afin d’être identifié par le téléphone. Ce dernier génère à son tour un code identique au même rythme que celui du satellite et compare ainsi le décalage temporel entre l’émission et la réception du signal. Ce décalage est ainsi utilisé dans la formule suivante : P = c * Δt avec P la pseudo-distance en m, c la vitesse de la lumière en m/s et Δt le décalage en s.

Coordonnées (x,y,z)

En résolvant une équation à 4 inconnues, on peut alors récupérer les coordonnées (x,y,z) du téléphone sur Terre ainsi que le décalage de son horloge par rapport à celles des satellites.

Alors, c’est quoi ces belles équations. En fait, elles représentent la distance réelle entre les satellites et le téléphone en appliquant le théorème de Pythagore en 3 dimensions avec X, Y et Z les coordonnées du satellite et U les coordonnées du téléphone que l’on recherche donc.
Puis on additionne l’erreur dû au décalage de l’horloge notée c qui est donc la différence de temps entre les 2 horloges.
On va pas rentrer dans les détails de comment résoudre ces équations, c’est trop complexe pour moi, mais il y a 2 méthodes principales pour le faire (La méthode des moindres carrés et le filtre de Kalman). Si vous êtes curieux, vous pouvez y jeter un oeil ;)
Bref, une fois qu’on a résolut tout ça, on obtient les coordonnées (x,y,z) de U.

Latitude et Longitude

Bon, nous, on veut savoir exactement où on est sur Terre pour trouver notre route, et les x,y,z, ça nous arrange pas. Heureusement pour nous, on peut les convertir en latitude et longitude.
Déjà, faut comprendre que les coordonnées à base de latitude et longitude se base sur une approximation ellipsoïdale de la Terre. En soit c’est logique, on veut convertir des trucs 3D en des trucs en 2D, sur une carte quoi. Et le meilleur moyen de représenter notre planète bleue qui est plus ou moins une boule, c’est en utilisant une ellipsoïde de référence qui est définie par le modèle mathématique WGS 84.
Pareil, on va pas rentrer dans les détails, j’ai mis la page Wikipédia pour les curieux mais c’est avec un peu de trigonométrie que la conversion se passe.
Et voilà, on est capable de se positionner sur une carte 🗺️ ! On pourrait même aller plus loin pour connaître notre altitude mais ça se complexifie encore plus donc on laisse ça de côté pour le moment :)