Le système de positionnement par satellites que l’on désigne par GNSS (Géolocalisation et Navigation par un Système de Satellites) nous permet de déterminer des positions géographiques précises n’importe où sur Terre 🌍.
On va aujourd’hui comprendre comment fonctionne tout ça, dans les grandes lignes parce que ça peut vite devenir compliqué :)
Introduction
Ce qu’on appelle GPS (Global Positioning System) n’est qu’un type de GNSS opéré par les États-Unis depuis les années 70. Mais il en existe d’autres, comme le Galileo en Europe (opérationnel en 2024 et plus précis que le GPS), le GLONASS en Russie ou encore le BeiDou en Chine.
Donc, dans le vie courante, lorsque l’on parle de “GPS”, on entend par là le terme générique GNSS quel qu’il soit.
Dans le cas de la constellation GPS, c’est 24 satellites qui orbitent autour de la Terre à une altitude d’environ 20000km sur l’orbite terrestre moyenne de sorte à ce qu’il est toujours au moins 4 satellites visibles en même temps.
Ces derniers émettent en permanence des ondes radios et comme on connaît leur position, on peut grâce à de la triangulation déterminer la distance entre le satellite et le récepteur sur Terre.
Même si 3 satellites pourraient suffire pour récupérer une latitude et une longitude, en pratique, il en faut plutôt au minimum 4. Ce dernier permettant de corriger le décalage d’horloge. Mais on va voir tout ça après.
Référentiel géocentrique
Un référentiel, c’est simplement un point de vue. Le lieu d’où on observe les choses. Et quand il s’agit de faire des calculs liés au GNSS, on se base sur le référentiel géocentrique 🌐 (ou ECEF en anglais).
Ce référentiel utilise le centre de la Terre comme point de référence.
Ce dernier se base sur un système dit cartésien, ça veut dire qu’il utilise 3 axes perpendiculaires entre eux, nommés X, Y et Z pour définir la position des points.
Ces coordonnées (x,y,z) permettant ainsi de localiser précisément des points dans l’espace en fonction de leur distance par rapport au centre de la Terre.
Mais comme des positions x,y,z c’est pas trop parlant pour nous, on convertit ses données en latitude et longitude bien plus simple à lire.
Pseudo-distance
On parle de pseudo-distance pour parler de la distance apparente entre un récepteur et un satellite.
Elle se mesure avec la formule qu’on apprenait au lycée D=V.Δt avec D la distance, V la vitesse moyenne de propagation du signal et Δt le temps mis pour recevoir le signal.
Si l’on utilise le mot “pseudo”, c’est qu’en réalité, cette distance inclut non seulement la vraie distance mais aussi des erreurs dues à divers facteurs comme les décalages d’horloges entre le récepteur et l’émetteur ou encore les effets atmosphériques.
Le satellite et le récepteur génèrent tous les deux un même code afin de bien identifier le satellite. En comparant les deux, le récepteur peut mesurer le retard entre l’émission et la réception du signal. Retard du au temps que met à parcourir le signal.
Pour calculer la pseudo-distance, on multiplie ce retard par la vitesse de l’onde (vitesse de la lumière).
Triangulation
Les horloges des satellites sont synchronisées sur la même source qu’on appelle le temps GPS. Si l’on reçoit 4 signaux de 4 satellites différents, on aura alors 4 pseudo-distances.
En résolvant une équation à 4 inconnues, on peut alors récupérer les coordonnées (x,y,z) du récepteur sur Terre ainsi que le décalage de son horloge par rapport à celles des satellites.
Alors, c’est quoi ces belles équations. En fait, elles représentent la distance réelle entre les satellites et le récepteur en appliquant le théorème de Pythagore en 3 dimensions avec X, Y et Z les coordonnées du satellite et U les coordonnées du récepteur que l’on recherche donc.
Puis on additionne l’erreur dû au décalage de l’horloge notée c qui est donc la différence de temps entre les 2 horloges.
On va pas rentrer dans les détails de comment résoudre ces équations, c’est trop complexe mais il y a 2 méthodes principales pour le faire (La méthode des moindres carrés et le filtre de Kalman). Si vous êtes curieux, vous pouvez y jeter un oeil ;)
Bref, une fois qu’on a résolut tout ça, on obtient les coordonnées (x,y,z) de U.
Latitude et Longitude
Bon, nous, on veut savoir exactement où on est sur Terre pour trouver notre route, et les x,y,z, ça nous arrange pas. Heureusement pour nous, on peut les convertir en latitude et longitude.
Déjà, faut comprendre que les coordonnées à base de latitude et longitude se base sur une approximation ellipsoïdale de la Terre. En soit c’est logique, on veut convertir des trucs 3D en des trucs en 2D, sur une carte quoi. Et le meilleur moyen de représenter notre planète bleue qui est plus ou moins une boule, c’est en utilisant une ellipsoïde de référence qui est définie par le modèle mathématique WGS 84.
Pareil, on va pas rentrer dans les détails, j’ai mis la page Wikipédia pour les curieux mais c’est avec un peu de trigonométrie que la conversion se passe.
Et voilà, on est capable de se positionner sur une carte 🗺️ ! On pourrait même aller plus loin pour connaître notre altitude mais ça se complexifie encore plus donc on laisse ça de côté pour le moment.
Merci d’avoir suivi ce cours :)
On pourra prochainement découvrir une attaque très populaire, le GPS Spoofing.